최단 경로, 다익스트라

가장 빠른 길 찾기

최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘이라서 길 찾기 문제라고도 불린다. 컴퓨터공학과 수준에서는 다익스트라 최단 경로 알고리즘, 플로이드 워셜, 벨만 포드 알고리즘, 이렇게 3가지이다. 이 중 다익스트라 최단 경로 알고리즘, 플로이드 워셜이 코딩 테스트에서 가장 많이 등장하는 유형이다.

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘

다익스트라 알고리즘은 그래프에서 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다. 다익스트라 알고리즘은 경로에 음수가 없을 때 정상적으로 동작한다. 다익스트라 알고리즘은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 과정을 반복하여 그리디 알고리즘으로 분류된다.

 

-알고리즘 원리

1. 출발 노드 설정
2. 최단 거리 테이블 초기화
3. 방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 짧은 노드 선택
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용 계산해서 최단 거리 테이블 갱신
5. 3, 4번을 반복

 

그리디 알고리즘을 구현하는 방법은 2가지가 있다.

1. 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드
2. 구현하기 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드

시험을 위해서는 2번을 작성할 수 있어야 한다.

 

-예시

1번 노드에서 시작하는 것을 다익스트라 알고리즘으로 구하면

 

이런 과정을 통해서 나온다. 

결국1번 노드에서 출발했을 때 2번, 3번, 4번, 5번, 6번 노드까지의 최단 경로가 각각 2, 3, 1, 2, 4라는 의미이다.

 

방법 1.  간단한 다익스트라 알고리즘

다익스트라 알고리즘은 O(V^2)의 시간 복잡도를 가진다. 여기서 V는 노드의 개수이다. 이 알고리즘은 직관적이고 쉽게 이해할 수 있다.

처음에 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언한다. 이후에 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.

 

-코드 예제

입력되는 데이터의 수가 많다고 가성하고 sys 라이브러리를 사용했다. 또 모든 리스트는 (노드의 개수 + 1)로 크기를 할당하여 노드 번호를 인덱스로 하여 바로 리스트에 접근할 수 있도록 했다. 그래프를 표현할 때 자주 사용된다.

 

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

graph: 각 노드에 (연결된 노드, 가중치), visited: 방문했는지 안했는지, distance: 최단 거리 테이블

distance 테이블

-get_smllest_node()

방문한적이 없고 가장 거리가 작은 노드의 번호를 반환해준다.

 

-dijkstra(start)

distance 테이블에서 start는 0으로 가중치를 바꾸고 visited도 방문했다고 표시한다.

첫번째 for문에서는 start와 연결되어있는 노드의 가중치를 distance에 업데이트 시켜준다.

두번째 for문에서는 시작 노드를 제외한 모든 노드를 반복해야 한다. 현재 distance에서 가장 거리가 짧은 노드를 구하고 그 노드를 방문 처리한다. 그리고 distance의 현재 가중치에서 다음으로 갈 노드들의 최소 거리 합을 구해서 distance를 업데이트 한다.

 

-안보고 풀어본 코드

n, m = map(int, input().split())
start = int(input())
INF = int(1e9)

graph = [[] for i in range(n+1)]
visited = [False] * (n+1)
distance = [INF] * (n+1)

for i in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a].append((b, c))

def get_smallest_node():
    index = -1
    min = INF
    for i in range(1, n+1):
        if distance[i] < min and not visited[i]:
            min = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    visited[start] = True
    distance[start] = 0

    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]

    for j in range(n-1):
        cost = get_smallest_node()
        visited[cost] = True
        
        for k in graph[cost]:
            weight = distance[cost] + k[1]

            if distance[k[0]] > weight:
                distance[k[0]] = weight

dijkstra(start)

print(distance)

위에 코드랑 똑같이 구현하지는 않았지만 로직은 맞았다.

 

방법 2. 개선된 다익스트라 알고리즘

위에 설명한 간단한 다익스트라 알고리즘은 최단 거리가 가장 짧은 노드를 찾기 위해 원소를 처음부터 끝까지 최단 거리 테이블을 찾아야했다. 이 과정에서만 O(V)의 시간이 걸렸다. 그렇기 때문에 개선된 다익스트라 알고리즘에서는 heap 자료구조를 사용한다. heap 자료구조를 사용하면 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾을 수 있다. 그러면 시간 복잡도가 O(ElogV)가 보장되며 V는 노드의 개수, E는 간선의 개수를 의미한다.

위 사진에서 나와있듯이 heap를 사용하면 삭제 시간이 O(logN)이 보장된다.

 

-코드 예제

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

 

-안보고 풀어본 코드

import heapq

n, m = map(int, input().split())
start = int(input())
INF = int(1e9)

graph = [[] for i in range(n+1)]
distance = [INF] * (n+1)

for i in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    distance[start] = 0
    q = []
    heapq.heappush(q, (0, start))
    
    while q:
        dist, now = heapq.heappop(q)
        
        if distance[now] < dist:
            continue

        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]

            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

dijkstra(start)

print(distance)

 

개선된 다익스트라 알고리즘은 시간 복잡도가 훨씬 빨라진다.