플로이드 워셜 알고리즘

플로이드 워셜 알고리즘

-다익스트라 vs 플로이드

다익스트라 알고리즘은 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로는 구하는 경우에 사용한다. 반면에 플로이드 워셜 알고리즘은 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우에 사용한다. 또한 다익스트라 알고리즘은 그리디 알고리즘, 플로이드 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍이라는 특징이 있다.

 

-플로이드의 시간 복잡도

노드의 개수가 N개일 때, 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행하고 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려한다. 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 시간 복잡도는 O(N^3)이다. 그리고 플로이드 알고리즘은 2차원 리스트에 모든 노드에 대하여 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 담아야 한다. 따라서 N번의 단계에서 매번 O(N^2)의 시간이 소요된다. 노드의 개수가 N이면, N번 만큼의 단계를 반복하여 점화식에 맞게 2차원 리스트를 갱신해야 한다.

 

-플로이드 방식

플로이드는 예를 들어 1번 노드에 대해 확인할 때 1번 노드를 거쳐서 지나가는 모든 경우 중 최단 거리를 구하면된다. A -> 1번 노드 -> B 이런식으로 구하면된다. 따라서 알고리즘에서는 현재 확인하고 있는 노드를 제외하고 N-1개의 노드 중에서 서로 다른 노드 (A, B)쌍을 선택한다.

점화식

따라서 전체적으로 3중 반복문을 이용해서 점화식에 따라 최단 거리 테이블을 갱신하면 된다.

 

https://youtu.be/9574GHxCbKc

설명은 저자인 나동빈님 유튜브에서 참고하면 될 것 같다.

 

-코드 예시

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == 1e9:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

 

-안보고 풀어본 코드

INF = int(1e9)

n = int(input())
m = int(input())

graph = [[INF]*(n+1) for i in range(n+1)]

for i in range(1, n+1):
    graph[i][i] = 0

for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

for k in range(1, (n+1)):
    for a in range(1, (n+1)):
        for b in range(1, (n+1)):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

for i in range(1, (n+1)):
    for j in range(1, (n+1)):
        print(graph[i][j], end=' ')
    print()

출력할 때 도달할 수 없는 경우에 대한 부분을 고려하는 것을 놓쳤다.