신장 트리, 크루스칼 알고리즘

신장 트리

신장 트리는 그래프가 있을 때, 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다. 

 

크루스칼 알고리즘

-크루스칼 알고리즘 원리

https://shortcoding.tistory.com/141?category=1009070 

그래프(1)

원리는 이전에 알고리즘 수업을 정리했던 글을 참고하면 될 것이다.

특징으로는 최종적으로 신장 트리에 포함되는 간선의 개수가 (노드의 개수 - 1)이다.

 

-예시 코드

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost

print(result)

find_parent: 루트 노드를 찾는다.

union_parent: 두 원소의 집합을 더 작은 루트 노드가 있는 집합으로 합친다.

노드와 간선의 개수를 입력 받고 부모 테이블 초기화한다. 모든 간선을 담을 리스트와 최종값 저장 할 변수 만든다. 간선을 입력 받고 오름차순으로 정렬한 다음에 간선을 보면서 사이클이 발생하는지 확인하고 두 간선을 연결한다.

 

-시간 복잡도

크루스칼 알고리즘은 간선의 개수가 E일 때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가진다. 가장 오래 걸리는 부분이 간선을 정렬하는 작업이라서 이다. 서로소 집합 시간 복잡도는 정렬 알고리즘보다 작아서 무시한다.